Apéndice · Probabilidad esencial para datos
Este apéndice recoge el lenguaje de probabilidad que el libro usa sin demostrar, sobre todo en la estadística descriptiva e inferencial del cap. 11. No sustituye a un curso; fija los conceptos —variable aleatoria, esperanza, varianza, unas pocas distribuciones— y la idea que los une con los datos: una muestra es una realización de un proceso aleatorio, y la inferencia es el intento de decir algo del proceso a partir de la muestra. James et al. (2023) desarrolla este puente entre probabilidad y aprendizaje con el mismo enfoque aplicado.
Sucesos y probabilidad
Un experimento aleatorio tiene un conjunto de resultados posibles, el espacio muestral \(\Omega\); un suceso es un subconjunto de \(\Omega\). Una probabilidad asigna a cada suceso \(A\) un número \(P(A) \in [0, 1]\) con tres reglas: \(P(\Omega) = 1\), \(P(A) \ge 0\), y la probabilidad de una unión de sucesos incompatibles es la suma de sus probabilidades. De ahí se derivan las igualdades de uso diario, como \(P(A^{c}) = 1 - P(A)\) (el complementario) y \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\).
Variable aleatoria, esperanza y varianza
Una variable aleatoria \(X\) asigna un número a cada resultado del experimento; es discreta si toma valores aislados (un recuento) y continua si recorre un intervalo (una medida). Su comportamiento se describe con la distribución: la función de masa \(P(X = x)\) en el caso discreto, o la densidad \(f(x)\) en el continuo, que integra a \(1\).
La esperanza \(\mathbb{E}[X]\) es el valor medio a largo plazo, el centro de la distribución: \[\mathbb{E}[X] = \sum_{x} x\,P(X = x) \quad\text{(discreta)}, \qquad \mathbb{E}[X] = \int x\,f(x)\,dx \quad\text{(continua)}.\] La varianza mide la dispersión en torno a la media \(\mu = \mathbb{E}[X]\), y su raíz es la desviación típica, que vuelve a las unidades del dato: \[\operatorname{Var}(X) = \mathbb{E}\!\left[(X - \mu)^{2}\right] = \mathbb{E}[X^{2}] - \mu^{2}, \qquad \sigma = \sqrt{\operatorname{Var}(X)}.\] La esperanza es lineal sin condiciones —\(\mathbb{E}[aX + b] = a\,\mathbb{E}[X] + b\)—, mientras que la varianza escala con el cuadrado y solo es aditiva entre variables independientes: \(\operatorname{Var}(aX + b) = a^{2}\operatorname{Var}(X)\).
Distribuciones que aparecen en el libro
Unas pocas distribuciones cubren casi todo el cap. 11. La Bernoulli modela un ensayo con dos resultados (éxito/fracaso); la binomial, el número de éxitos en \(n\) ensayos independientes; la Poisson, recuentos de sucesos raros por unidad de tiempo o espacio; la uniforme, un valor igualmente probable en un intervalo; y la normal o gaussiana, la campana que aparece una y otra vez como límite de sumas (véase el teorema central del límite, más abajo).
| Distribución | Soporte | Media | Varianza |
|---|---|---|---|
| Bernoulli\((p)\) | \(\{0, 1\}\) | \(p\) | \(p(1 - p)\) |
| Binomial\((n, p)\) | \(\{0, \dots, n\}\) | \(np\) | \(np(1 - p)\) |
| Poisson\((\lambda)\) | \(\{0, 1, 2, \dots\}\) | \(\lambda\) | \(\lambda\) |
| Uniforme\((a, b)\) | \([a, b]\) | \(\tfrac{a+b}{2}\) | \(\tfrac{(b-a)^{2}}{12}\) |
| Normal\((\mu, \sigma^{2})\) | \(\mathbb{R}\) | \(\mu\) | \(\sigma^{2}\) |
La normal estándar \(Z \sim \text{Normal}(0, 1)\) es la referencia: toda \(X \sim \text{Normal}(\mu, \sigma^{2})\) se tipifica con \(Z = (X - \mu)/\sigma\), y en ella el 95 % de la masa cae en \([-1{,}96,\, 1{,}96]\), el número que reaparece en los intervalos de confianza.
Del muestreo a la inferencia
Ante una muestra \(x_1, \dots, x_n\) —valores independientes de una misma distribución con media \(\mu\) y varianza \(\sigma^{2}\)—, la media muestral \(\bar{x} = \tfrac{1}{n}\sum_i x_i\) estima \(\mu\). El resultado que hace posible la inferencia es el teorema central del límite: para \(n\) grande, la media muestral se distribuye aproximadamente como una normal centrada en \(\mu\) y con desviación \(\sigma/\sqrt{n}\) —el error estándar—, sea cual sea la forma de la distribución de partida. De ahí sale el intervalo de confianza al 95 % para la media, \[\bar{x} \;\pm\; 1{,}96\,\frac{s}{\sqrt{n}},\] con \(s\) la desviación típica muestral: un rango que, repetido el muestreo, contiene la media verdadera el 95 % de las veces.
Un contraste de hipótesis formaliza la duda: se parte de una hipótesis nula (“no hay efecto”), se calcula cuán sorprendentes serían los datos si fuese cierta, y ese grado de sorpresa es el \(p\)-valor. Un \(p\)-valor pequeño resta credibilidad a la nula, pero no es la probabilidad de que la nula sea cierta ni una medida del tamaño del efecto: la American Statistical Association lo subraya explícitamente (Wasserstein y Lazar 2016). Cuando las fórmulas cerradas no bastan, el bootstrap —remuestrear con reemplazo— estima el error de un estadístico sin supuestos sobre su distribución (Efron y Tibshirani 1994); el cap. 11 lo usa con detalle.